सोडोवचें {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$-3y+4x=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$-3y=-4x+13$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-4x+13क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

-5y-6x=-67 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{4x-13}{3} बदलपी घेवचो.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

\frac{4x-13}{3}क -5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

-6x कडेन -\frac{20x}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{65}{3} वजा करचें.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

-\frac{38}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=7$$

y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3} त x खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

7क \frac{4}{3} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{28}{3} क -\frac{13}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=5,x=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=5,x=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y आनी -5y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न गुणचें.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

सोंपें करचें.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15y-20x=-65 तल्यान 15y+18x=201 वजा करचो.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

-15y कडेन 15y ची बेरीज करची. अटी 15y आनी -15y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-20x-18x=-65-201$$

-18x कडेन -20x ची बेरीज करची.

$$-38x=-65-201$$

-201 कडेन -65 ची बेरीज करची.

$$-38x=-266$$

दोनुय कुशींक -38 न भाग लावचो.

$$x=7$$

-5y-6x=-67 त x खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5y-6\times 7=-67$$

7क -6 फावटी गुणचें.

$$-5y-42=-67$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 42 ची बेरीज करची.

$$-5y=-25$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=5,x=7$$