सोडोवचें {l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-12x+10y=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y वजा करचें.

$$-12x=-10y-10$$

दोनुय कुशींक -12 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

-10y-10क -\frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

6x-7y=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5+5y}{6} बदलपी घेवचो.

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

\frac{5+5y}{6}क 6 फावटी गुणचें.

$$5y+5-7y=-5$$

-7y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$-2y+5=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$-2y=-10$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=5$$

x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6} त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

5क \frac{5}{6} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{25+5}{6}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{25}{6} क \frac{5}{6} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

-12x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -12 न गुणचें.

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

सोंपें करचें.

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -72x+60y=-60 तल्यान -72x+84y=60 वजा करचो.

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

72x कडेन -72x ची बेरीज करची. अटी -72x आनी 72x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$60y-84y=-60-60$$

-84y कडेन 60y ची बेरीज करची.

$$-24y=-60-60$$

-60 कडेन -60 ची बेरीज करची.

$$-24y=-120$$

दोनुय कुशींक -24 न भाग लावचो.

$$y=5$$

6x-7y=-5 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x-7\times 5=-5$$

5क -7 फावटी गुणचें.

$$6x-35=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 35 ची बेरीज करची.

$$6x=30$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=5$$