सोडोवचें {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+a न m_{1} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

दोनूय कुशींतल्यान m_{1}x वजा करचें.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+a न m_{2} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

दोनूय कुशींतल्यान m_{2}x वजा करचें.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान m_{1}x ची बेरीज करची.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर m_{1}x+am_{1}-b बदलपी घेवचो.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

-m_{2}x कडेन m_{1}x ची बेरीज करची.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान am_{1}-b वजा करचें.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

दोनुय कुशींक m_{1}-m_{2} न भाग लावचो.

$$x=-a$$

y=m_{1}x+am_{1}-b त x खातीर -a बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

-aक m_{1} फावटी गुणचें.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

-m_{1}a कडेन am_{1}-b ची बेरीज करची.

$$y=-b$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-b,x=-a$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+a न m_{1} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

दोनूय कुशींतल्यान m_{1}x वजा करचें.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+a न m_{2} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

दोनूय कुशींतल्यान m_{2}x वजा करचें.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-b,x=-a$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+a न m_{1} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

दोनूय कुशींतल्यान m_{1}x वजा करचें.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+a न m_{2} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

दोनूय कुशींतल्यान m_{2}x वजा करचें.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b तल्यान y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b वजा करचो.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

m_{2}x कडेन -m_{1}x ची बेरीज करची.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-m_{2}a+b कडेन am_{1}-b ची बेरीज करची.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

दोनुय कुशींक -m_{1}+m_{2} न भाग लावचो.

$$x=-a$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b त x खातीर -a बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-aक -m_{2} फावटी गुणचें.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान m_{2}a वजा करचें.

$$y=-b$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-b,x=-a$$