सोडोवचें {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=-10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2x-20=y$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x-20-y=0$$

दोनूय वटांनी 20 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$2x-y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 7y जोडचे.

$$5x+45+7y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 45 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$5x+7y=-45$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-y=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$2x=y+20$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

y+20क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

5x+7y=-45 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{2}+10 बदलपी घेवचो.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

\frac{y}{2}+10क 5 फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

7y कडेन \frac{5y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 50 वजा करचें.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

\frac{19}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-10$$

x=\frac{1}{2}y+10 त y खातीर -10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

-10क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-5+10$$

-5 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2x-20=y$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x-20-y=0$$

दोनूय वटांनी 20 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$2x-y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 7y जोडचे.

$$5x+45+7y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 45 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$5x+7y=-45$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=-10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2x-20=y$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x-20-y=0$$

दोनूय वटांनी 20 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$2x-y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 7y जोडचे.

$$5x+45+7y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 45 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$5x+7y=-45$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

सोंपें करचें.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x-5y=100 तल्यान 10x+14y=-90 वजा करचो.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-5y-14y=100+90$$

-14y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$-19y=100+90$$

90 कडेन 100 ची बेरीज करची.

$$-19y=190$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=-10$$

5x+7y=-45 त y खातीर -10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

-10क 7 फावटी गुणचें.

$$5x-70=-45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 70 ची बेरीज करची.

$$5x=25$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-10$$