सोडोवचें {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 50 वरवीं गुणाकार करच्यो, 25,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 मेळोवंक 2 आनी 27 गुणचें.

$$54x+45y=50400$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$54x+45y=50400$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 45y वजा करचें.

$$54x=-45y+50400$$

दोनुय कुशींक 54 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

-45y+50400क \frac{1}{54} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} बदलपी घेवचो.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}क \frac{11}{10} फावटी गुणचें.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{43y}{5} कडेन -\frac{11y}{12} ची बेरीज करची.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3080}{3} वजा करचें.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

\frac{461}{60} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{80}{461}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} त y खातीर \frac{80}{461} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{80}{461} क -\frac{5}{6} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{200}{1383} क \frac{2800}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{430200}{461}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 50 वरवीं गुणाकार करच्यो, 25,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 मेळोवंक 2 आनी 27 गुणचें.

$$54x+45y=50400$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 50 वरवीं गुणाकार करच्यो, 25,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 मेळोवंक 2 आनी 27 गुणचें.

$$54x+45y=50400$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x आनी \frac{11x}{10} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{11}{10} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 54 न गुणचें.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

सोंपें करचें.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 तल्यान \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 वजा करचो.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{297x}{5} कडेन \frac{297x}{5} ची बेरीज करची. अटी \frac{297x}{5} आनी -\frac{297x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{2322y}{5} कडेन \frac{99y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

-55512 कडेन 55440 ची बेरीज करची.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

-\frac{4149}{10} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{80}{461}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028 त y खातीर \frac{80}{461} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{80}{461} क \frac{43}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{688}{461} वजा करचें.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

\frac{11}{10} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{430200}{461}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$