सोडोवचें {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3 न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x मेळोवंक 8x आनी -3x एकठांय करचें.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y मेळोवंक -4y आनी 6y एकठांय करचें.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 मेळोवंक 12 आनी 9 वजा करचे.

$$5x+2y+3=48$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$5x+2y=48-3$$

45 मेळोवंक 48 आनी 3 वजा करचे.

$$5x+2y=45$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x मेळोवंक 9x आनी 16x एकठांय करचें.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y मेळोवंक -12y आनी -8y एकठांय करचें.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 मेळोवंक 9 आनी 36 वजा करचे.

$$25x-20y-27=48$$

दोनूय वटांनी 27 जोडचे.

$$25x-20y=48+27$$

75 मेळोवंक 48 आनी 27 ची बेरीज करची.

$$25x-20y=75$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+2y=45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$5x=-2y+45$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

-2y+45क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

25x-20y=75 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{2y}{5}+9 बदलपी घेवचो.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

-\frac{2y}{5}+9क 25 फावटी गुणचें.

$$-10y+225-20y=75$$

-20y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$-30y+225=75$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 225 वजा करचें.

$$-30y=-150$$

दोनुय कुशींक -30 न भाग लावचो.

$$y=5$$

x=-\frac{2}{5}y+9 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

5क -\frac{2}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-2+9$$

-2 कडेन 9 ची बेरीज करची.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3 न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x मेळोवंक 8x आनी -3x एकठांय करचें.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y मेळोवंक -4y आनी 6y एकठांय करचें.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 मेळोवंक 12 आनी 9 वजा करचे.

$$5x+2y+3=48$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$5x+2y=48-3$$

45 मेळोवंक 48 आनी 3 वजा करचे.

$$5x+2y=45$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x मेळोवंक 9x आनी 16x एकठांय करचें.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y मेळोवंक -12y आनी -8y एकठांय करचें.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 मेळोवंक 9 आनी 36 वजा करचे.

$$25x-20y-27=48$$

दोनूय वटांनी 27 जोडचे.

$$25x-20y=48+27$$

75 मेळोवंक 48 आनी 27 ची बेरीज करची.

$$25x-20y=75$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=7,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3 न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x मेळोवंक 8x आनी -3x एकठांय करचें.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y मेळोवंक -4y आनी 6y एकठांय करचें.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 मेळोवंक 12 आनी 9 वजा करचे.

$$5x+2y+3=48$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$5x+2y=48-3$$

45 मेळोवंक 48 आनी 3 वजा करचे.

$$5x+2y=45$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x मेळोवंक 9x आनी 16x एकठांय करचें.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y मेळोवंक -12y आनी -8y एकठांय करचें.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 मेळोवंक 9 आनी 36 वजा करचे.

$$25x-20y-27=48$$

दोनूय वटांनी 27 जोडचे.

$$25x-20y=48+27$$

75 मेळोवंक 48 आनी 27 ची बेरीज करची.

$$25x-20y=75$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x आनी 25x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 25 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

सोंपें करचें.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 125x+50y=1125 तल्यान 125x-100y=375 वजा करचो.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

-125x कडेन 125x ची बेरीज करची. अटी 125x आनी -125x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$50y+100y=1125-375$$

100y कडेन 50y ची बेरीज करची.

$$150y=1125-375$$

-375 कडेन 1125 ची बेरीज करची.

$$150y=750$$

दोनुय कुशींक 150 न भाग लावचो.

$$y=5$$

25x-20y=75 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$25x-20\times 5=75$$

5क -20 फावटी गुणचें.

$$25x-100=75$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 100 ची बेरीज करची.

$$25x=175$$

दोनुय कुशींक 25 न भाग लावचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=5$$