सोडोवचें {c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x+7y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$-2x=-7y+10$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

-7y+10क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

3x+7y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7y}{2}-5 बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

\frac{7y}{2}-5क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

7y कडेन \frac{21y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$\frac{35}{2}y=17$$

\frac{35}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{34}{35}$$

x=\frac{7}{2}y-5 त y खातीर \frac{34}{35} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{34}{35} क \frac{7}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{17}{5}-5$$

\frac{17}{5} कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{8}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x+7y=10 तल्यान 3x+7y=2 वजा करचो.

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

-7y कडेन 7y ची बेरीज करची. अटी 7y आनी -7y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2x-3x=10-2$$

-3x कडेन -2x ची बेरीज करची.

$$-5x=10-2$$

-2 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$-5x=8$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{8}{5}$$

3x+7y=2 त x खातीर -\frac{8}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

-\frac{8}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{5} ची बेरीज करची.

$$7y=\frac{34}{5}$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{34}{35}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$