सोडोवचें {l}{4x+3y=-2}{-3x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + 3 y = - 2 }\\{ - 3 x - 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+3y=-2,-3x-2y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+3y=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$4x=-3y-2$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-2\right)$$

-3y-2क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}$$

-3x-2y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{4}-\frac{1}{2} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=1$$

-\frac{3y}{4}-\frac{1}{2}क -3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{4}y+\frac{3}{2}-2y=1$$

-2y कडेन \frac{9y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{2} वजा करचें.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

दोनूय कुशीनीं 4 न गुणचें.

$$y=-2$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{1}{2} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-2\right)-\frac{1}{2}$$

-2क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{2} क -\frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+3y=-2,-3x-2y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)-3\\3\left(-2\right)+4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+3y=-2,-3x-2y=1$$

4x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\left(-2\right),4\left(-3\right)x+4\left(-2\right)y=4$$

सोंपें करचें.

$$-12x-9y=6,-12x-8y=4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -12x-9y=6 तल्यान -12x-8y=4 वजा करचो.

$$-12x+12x-9y+8y=6-4$$

12x कडेन -12x ची बेरीज करची. अटी -12x आनी 12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y+8y=6-4$$

8y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-y=6-4$$

-4 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$-y=2$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

-3x-2y=1 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x-2\left(-2\right)=1$$

-2क -2 फावटी गुणचें.

$$-3x+4=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$-3x=-3$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-2$$