सोडोवचें {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$6x=-y+4$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

-y+4क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

x-4y=19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

-4y कडेन -\frac{y}{6} ची बेरीज करची.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{3} वजा करचें.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

-\frac{25}{6} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{22}{5}$$

x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3} त y खातीर -\frac{22}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{22}{5} क -\frac{1}{6} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{11}{15} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{7}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

6x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

सोंपें करचें.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+y=4 तल्यान 6x-24y=114 वजा करचो.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y+24y=4-114$$

24y कडेन y ची बेरीज करची.

$$25y=4-114$$

-114 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$25y=-110$$

दोनुय कुशींक 25 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{22}{5}$$

x-4y=19 त y खातीर -\frac{22}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

-\frac{22}{5}क -4 फावटी गुणचें.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{88}{5} वजा करचें.

$$x=\frac{7}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$