सोडोवचें {l}{y=2x+1}{5y-7x=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { 5 y - 7 x = 11 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$y-2x=1$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-2x=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2x ची बेरीज करची.

$$y=2x+1$$

5y-7x=11 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर 2x+1 बदलपी घेवचो.

$$5\left(2x+1\right)-7x=11$$

2x+1क 5 फावटी गुणचें.

$$10x+5-7x=11$$

-7x कडेन 10x ची बेरीज करची.

$$3x+5=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$3x=6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=2$$

y=2x+1 त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=2\times 2+1$$

2क 2 फावटी गुणचें.

$$y=4+1$$

4 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$y=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=5,x=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$y-2x=1$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-7-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-7-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-7-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\times 11\\-\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=5,x=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$y-2x=1$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

y आनी 5y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$5y+5\left(-2\right)x=5,5y-7x=11$$

सोंपें करचें.

$$5y-10x=5,5y-7x=11$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5y-10x=5 तल्यान 5y-7x=11 वजा करचो.

$$5y-5y-10x+7x=5-11$$

-5y कडेन 5y ची बेरीज करची. अटी 5y आनी -5y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-10x+7x=5-11$$

7x कडेन -10x ची बेरीज करची.

$$-3x=5-11$$

-11 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$-3x=-6$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=2$$

5y-7x=11 त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5y-7\times 2=11$$

2क -7 फावटी गुणचें.

$$5y-14=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 ची बेरीज करची.

$$5y=25$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=5,x=2$$