सोडोवचें {l}{x-y=5000}{1.15x-0.9y=9500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 5000 } \\ { 1.15 x - 0.9 y = 9500 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=20000$$

$$y=15000$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-y=5000,1.15x-0.9y=9500$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-y=5000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$x=y+5000$$

1.15x-0.9y=9500 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+5000 बदलपी घेवचो.

$$1.15\left(y+5000\right)-0.9y=9500$$

y+5000क 1.15 फावटी गुणचें.

$$1.15y+5750-0.9y=9500$$

-\frac{9y}{10} कडेन \frac{23y}{20} ची बेरीज करची.

$$0.25y+5750=9500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5750 वजा करचें.

$$0.25y=3750$$

दोनूय कुशीनीं 4 न गुणचें.

$$y=15000$$

x=y+5000 त y खातीर 15000 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=15000+5000$$

15000 कडेन 5000 ची बेरीज करची.

$$x=20000$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=20000,y=15000$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-y=5000,1.15x-0.9y=9500$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.9}{-0.9-\left(-1.15\right)}&-\frac{-1}{-0.9-\left(-1.15\right)}\\-\frac{1.15}{-0.9-\left(-1.15\right)}&\frac{1}{-0.9-\left(-1.15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3.6&4\\-4.6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3.6\times 5000+4\times 9500\\-4.6\times 5000+4\times 9500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20000\\15000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=20000,y=15000$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-y=5000,1.15x-0.9y=9500$$

x आनी \frac{23x}{20} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1.15 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$1.15x+1.15\left(-1\right)y=1.15\times 5000,1.15x-0.9y=9500$$

सोंपें करचें.

$$1.15x-1.15y=5750,1.15x-0.9y=9500$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 1.15x-1.15y=5750 तल्यान 1.15x-0.9y=9500 वजा करचो.

$$1.15x-1.15x-1.15y+0.9y=5750-9500$$

-\frac{23x}{20} कडेन \frac{23x}{20} ची बेरीज करची. अटी \frac{23x}{20} आनी -\frac{23x}{20} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-1.15y+0.9y=5750-9500$$

\frac{9y}{10} कडेन -\frac{23y}{20} ची बेरीज करची.

$$-0.25y=5750-9500$$

-9500 कडेन 5750 ची बेरीज करची.

$$-0.25y=-3750$$

दोनूय कुशीनीं -4 न गुणचें.

$$y=15000$$

1.15x-0.9y=9500 त y खातीर 15000 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$1.15x-0.9\times 15000=9500$$

15000क -0.9 फावटी गुणचें.

$$1.15x-13500=9500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 13500 ची बेरीज करची.

$$1.15x=23000$$

1.15 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=20000$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=20000,y=15000$$