सोडोवचें {l}{x+y=50}{10x+20y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 10 x + 20 y = 500 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=50$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+50$$

10x+20y=500 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+50 बदलपी घेवचो.

$$10\left(-y+50\right)+20y=500$$

-y+50क 10 फावटी गुणचें.

$$-10y+500+20y=500$$

20y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$10y+500=500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 500 वजा करचें.

$$10y=0$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x=-y+50 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=50$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=50,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{20-10}&-\frac{1}{20-10}\\-\frac{10}{20-10}&\frac{1}{20-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{10}\\-1&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 50-\frac{1}{10}\times 500\\-50+\frac{1}{10}\times 500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=50,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

x आनी 10x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$10x+10y=10\times 50,10x+20y=500$$

सोंपें करचें.

$$10x+10y=500,10x+20y=500$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+10y=500 तल्यान 10x+20y=500 वजा करचो.

$$10x-10x+10y-20y=500-500$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-20y=500-500$$

-20y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$-10y=500-500$$

-500 कडेन 500 ची बेरीज करची.

$$-10y=0$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=0$$

10x+20y=500 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$10x=500$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=50$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=50,y=0$$