सोडोवचें {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=15$$

$$y=21$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 0 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 7y वरवीं गुणाकार करच्यो, 7,y चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5y=7x$$

दोनूय कुशींतल्यान 7x वजा करचें.

$$5y-7x=0$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+36$$

-7x+5y=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+36 बदलपी घेवचो.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

-y+36क -7 फावटी गुणचें.

$$7y-252+5y=0$$

5y कडेन 7y ची बेरीज करची.

$$12y-252=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 252 ची बेरीज करची.

$$12y=252$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$y=21$$

x=-y+36 त y खातीर 21 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-21+36$$

-21 कडेन 36 ची बेरीज करची.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=21$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 0 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 7y वरवीं गुणाकार करच्यो, 7,y चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5y=7x$$

दोनूय कुशींतल्यान 7x वजा करचें.

$$5y-7x=0$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=15,y=21$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 0 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 7y वरवीं गुणाकार करच्यो, 7,y चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5y=7x$$

दोनूय कुशींतल्यान 7x वजा करचें.

$$5y-7x=0$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

x आनी -7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

सोंपें करचें.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -7x-7y=-252 तल्यान -7x+5y=0 वजा करचो.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

7x कडेन -7x ची बेरीज करची. अटी -7x आनी 7x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-7y-5y=-252$$

-5y कडेन -7y ची बेरीज करची.

$$-12y=-252$$

दोनुय कुशींक -12 न भाग लावचो.

$$y=21$$

-7x+5y=0 त y खातीर 21 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-7x+5\times 21=0$$

21क 5 फावटी गुणचें.

$$-7x+105=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 105 वजा करचें.

$$-7x=-105$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=21$$