सोडोवचें {l}{x+y=30}{20x+25y=690}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 690 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=12$$

$$y=18$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+30$$

20x+25y=690 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+30 बदलपी घेवचो.

$$20\left(-y+30\right)+25y=690$$

-y+30क 20 फावटी गुणचें.

$$-20y+600+25y=690$$

25y कडेन -20y ची बेरीज करची.

$$5y+600=690$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 600 वजा करचें.

$$5y=90$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=18$$

x=-y+30 त y खातीर 18 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-18+30$$

-18 कडेन 30 ची बेरीज करची.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=18$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 690\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 690\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=12,y=18$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

x आनी 20x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 20 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=690$$

सोंपें करचें.

$$20x+20y=600,20x+25y=690$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20x+20y=600 तल्यान 20x+25y=690 वजा करचो.

$$20x-20x+20y-25y=600-690$$

-20x कडेन 20x ची बेरीज करची. अटी 20x आनी -20x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$20y-25y=600-690$$

-25y कडेन 20y ची बेरीज करची.

$$-5y=600-690$$

-690 कडेन 600 ची बेरीज करची.

$$-5y=-90$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=18$$

20x+25y=690 त y खातीर 18 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$20x+25\times 18=690$$

18क 25 फावटी गुणचें.

$$20x+450=690$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 450 वजा करचें.

$$20x=240$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=18$$