सोडोवचें {l}{u+v=10}{3u-2v=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

u, v खातीर सोडोवचें

$$u=5$$

$$v=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक u वेगळावन u खातीर तें सोडोवचें.

$$u+v=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान v वजा करचें.

$$u=-v+10$$

3u-2v=5 ह्या दुस-या समिकरणांत u खातीर -v+10 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

-v+10क 3 फावटी गुणचें.

$$-3v+30-2v=5$$

-2v कडेन -3v ची बेरीज करची.

$$-5v+30=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30 वजा करचें.

$$-5v=-25$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$v=5$$

u=-v+10 त v खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$u=-5+10$$

-5 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$u=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=5,v=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां u आनी v काडचीं.

$$u=5,v=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

u आनी 3u बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

सोंपें करचें.

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3u+3v=30 तल्यान 3u-2v=5 वजा करचो.

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

-3u कडेन 3u ची बेरीज करची. अटी 3u आनी -3u रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3v+2v=30-5$$

2v कडेन 3v ची बेरीज करची.

$$5v=30-5$$

-5 कडेन 30 ची बेरीज करची.

$$5v=25$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$v=5$$

3u-2v=5 त v खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3u-2\times 5=5$$

5क -2 फावटी गुणचें.

$$3u-10=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$3u=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$u=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=5,v=5$$