सोडोवचें {l}{kx+9y=18}{4x-5y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { kx + 9 y = 18 } \\ { 4 x - 5 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

$$k\neq -\frac{36}{5}$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$kx+9y=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9y वजा करचें.

$$kx=-9y+18$$

दोनुय कुशींक k न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{k}\left(-9y+18\right)$$

-9y+18क \frac{1}{k} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}$$

4x-5y=20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{9\left(2-y\right)}{k} बदलपी घेवचो.

$$4\left(\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}\right)-5y=20$$

\frac{9\left(2-y\right)}{k}क 4 फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}-5y=20$$

-5y कडेन -\frac{36y}{k} ची बेरीज करची.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{72}{k} वजा करचें.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y=20-\frac{72}{k}$$

दोनुय कुशींक -\frac{36}{k}-5 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k} त y खातीर -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)\left(-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}\right)+\frac{18}{k}$$

-\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}क -\frac{9}{k} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{36\left(5k-18\right)}{k\left(5k+36\right)}+\frac{18}{k}$$

\frac{36\left(-18+5k\right)}{k\left(36+5k\right)} कडेन \frac{18}{k} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{k\left(-5\right)-9\times 4}&-\frac{9}{k\left(-5\right)-9\times 4}\\-\frac{4}{k\left(-5\right)-9\times 4}&\frac{k}{k\left(-5\right)-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}&\frac{9}{5k+36}\\\frac{4}{5k+36}&-\frac{k}{5k+36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}\times 18+\frac{9}{5k+36}\times 20\\\frac{4}{5k+36}\times 18+\left(-\frac{k}{5k+36}\right)\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{270}{5k+36}\\\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

kx आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक k न गुणचें.

$$4kx+4\times 9y=4\times 18,k\times 4x+k\left(-5\right)y=k\times 20$$

सोंपें करचें.

$$4kx+36y=72,4kx+\left(-5k\right)y=20k$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4kx+36y=72 तल्यान 4kx+\left(-5k\right)y=20k वजा करचो.

$$4kx+\left(-4k\right)x+36y+5ky=72-20k$$

-4kx कडेन 4kx ची बेरीज करची. अटी 4kx आनी -4kx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$36y+5ky=72-20k$$

5ky कडेन 36y ची बेरीज करची.

$$\left(5k+36\right)y=72-20k$$

दोनुय कुशींक 36+5k न भाग लावचो.

$$y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

4x-5y=20 त y खातीर \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-5\times \frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

\frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}क -5 फावटी गुणचें.

$$4x-\frac{20\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{20\left(18-5k\right)}{36+5k} ची बेरीज करची.

$$4x=\frac{1080}{5k+36}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$