सोडोवचें {l}{9m-2n=3}{4n+m=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 2 n = 3 } \\ { 4 n + m = - 1 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

$$n=-\frac{6}{19}\approx -0.315789474$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$9m-2n=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2n ची बेरीज करची.

$$9m=2n+3$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{9}\left(2n+3\right)$$

2n+3क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}$$

m+4n=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{2n}{9}+\frac{1}{3} बदलपी घेवचो.

$$\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}+4n=-1$$

4n कडेन \frac{2n}{9} ची बेरीज करची.

$$\frac{38}{9}n+\frac{1}{3}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3} वजा करचें.

$$\frac{38}{9}n=-\frac{4}{3}$$

\frac{38}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$n=-\frac{6}{19}$$

m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3} त n खातीर -\frac{6}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{19}\right)+\frac{1}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{6}{19} क \frac{2}{9} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=-\frac{4}{57}+\frac{1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{4}{57} क \frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=\frac{5}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{9\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-2\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&\frac{9}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\-\frac{1}{38}\times 3+\frac{9}{38}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\\-\frac{6}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

9m आनी m बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$9m-2n=3,9m+9\times 4n=9\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$9m-2n=3,9m+36n=-9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 9m-2n=3 तल्यान 9m+36n=-9 वजा करचो.

$$9m-9m-2n-36n=3+9$$

-9m कडेन 9m ची बेरीज करची. अटी 9m आनी -9m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2n-36n=3+9$$

-36n कडेन -2n ची बेरीज करची.

$$-38n=3+9$$

9 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$-38n=12$$

दोनुय कुशींक -38 न भाग लावचो.

$$n=-\frac{6}{19}$$

m+4n=-1 त n खातीर -\frac{6}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m+4\left(-\frac{6}{19}\right)=-1$$

-\frac{6}{19}क 4 फावटी गुणचें.

$$m-\frac{24}{19}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{19} ची बेरीज करची.

$$m=\frac{5}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$