सोडोवचें {l}{8x+5y=19}{-8x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 5 y = 19 } \\ { - 8 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x+5y=19,-8x+y=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x+5y=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$8x=-5y+19$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(-5y+19\right)$$

-5y+19क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}$$

-8x+y=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+19}{8} बदलपी घेवचो.

$$-8\left(-\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}\right)+y=-1$$

\frac{-5y+19}{8}क -8 फावटी गुणचें.

$$5y-19+y=-1$$

y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$6y-19=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 19 ची बेरीज करची.

$$6y=18$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=3$$

x=-\frac{5}{8}y+\frac{19}{8} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{8}\times 3+\frac{19}{8}$$

3क -\frac{5}{8} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-15+19}{8}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{15}{8} क \frac{19}{8} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x+5y=19,-8x+y=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-5\left(-8\right)}&-\frac{5}{8-5\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8-5\left(-8\right)}&\frac{8}{8-5\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}&-\frac{5}{48}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}\times 19-\frac{5}{48}\left(-1\right)\\\frac{1}{6}\times 19+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x+5y=19,-8x+y=-1$$

8x आनी -8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$-8\times 8x-8\times 5y=-8\times 19,8\left(-8\right)x+8y=8\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$-64x-40y=-152,-64x+8y=-8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -64x-40y=-152 तल्यान -64x+8y=-8 वजा करचो.

$$-64x+64x-40y-8y=-152+8$$

64x कडेन -64x ची बेरीज करची. अटी -64x आनी 64x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-40y-8y=-152+8$$

-8y कडेन -40y ची बेरीज करची.

$$-48y=-152+8$$

8 कडेन -152 ची बेरीज करची.

$$-48y=-144$$

दोनुय कुशींक -48 न भाग लावचो.

$$y=3$$

-8x+y=-1 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-8x+3=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$-8x=-4$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$