सोडोवचें {l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x+20y=11400$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20y वजा करचें.

$$8x=-20y+11400$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

-20y+11400क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

10x+30y=22500 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{2}+1425 बदलपी घेवचो.

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

-\frac{5y}{2}+1425क 10 फावटी गुणचें.

$$-25y+14250+30y=22500$$

30y कडेन -25y ची बेरीज करची.

$$5y+14250=22500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14250 वजा करचें.

$$5y=8250$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=1650$$

x=-\frac{5}{2}y+1425 त y खातीर 1650 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

1650क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-4125+1425$$

-4125 कडेन 1425 ची बेरीज करची.

$$x=-2700$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2700,y=1650$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-2700,y=1650$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

8x आनी 10x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

सोंपें करचें.

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 80x+200y=114000 तल्यान 80x+240y=180000 वजा करचो.

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

-80x कडेन 80x ची बेरीज करची. अटी 80x आनी -80x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$200y-240y=114000-180000$$

-240y कडेन 200y ची बेरीज करची.

$$-40y=114000-180000$$

-180000 कडेन 114000 ची बेरीज करची.

$$-40y=-66000$$

दोनुय कुशींक -40 न भाग लावचो.

$$y=1650$$

10x+30y=22500 त y खातीर 1650 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$10x+30\times 1650=22500$$

1650क 30 फावटी गुणचें.

$$10x+49500=22500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 49500 वजा करचें.

$$10x=-27000$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=-2700$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2700,y=1650$$