सोडोवचें {l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$78x+40y=1280$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 40y वजा करचें.

$$78x=-40y+1280$$

दोनुय कुशींक 78 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

-40y+1280क \frac{1}{78} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

120x+8y=2800 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-20y+640}{39} बदलपी घेवचो.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

\frac{-20y+640}{39}क 120 फावटी गुणचें.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

8y कडेन -\frac{800y}{13} ची बेरीज करची.

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{25600}{13} वजा करचें.

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

-\frac{696}{13} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{450}{29}$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} त y खातीर -\frac{450}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{450}{29} क -\frac{20}{39} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3000}{377} क \frac{640}{39} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{2120}{87}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

78x आनी 120x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 120 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 78 न गुणचें.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

सोंपें करचें.

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 9360x+4800y=153600 तल्यान 9360x+624y=218400 वजा करचो.

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

-9360x कडेन 9360x ची बेरीज करची. अटी 9360x आनी -9360x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4800y-624y=153600-218400$$

-624y कडेन 4800y ची बेरीज करची.

$$4176y=153600-218400$$

-218400 कडेन 153600 ची बेरीज करची.

$$4176y=-64800$$

दोनुय कुशींक 4176 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{450}{29}$$

120x+8y=2800 त y खातीर -\frac{450}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

-\frac{450}{29}क 8 फावटी गुणचें.

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3600}{29} ची बेरीज करची.

$$120x=\frac{84800}{29}$$

दोनुय कुशींक 120 न भाग लावचो.

$$x=\frac{2120}{87}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$