सोडोवचें {l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-3y=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$5x=3y+13$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

3y+13क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

-9x-2y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y+13}{5} बदलपी घेवचो.

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

\frac{3y+13}{5}क -9 फावटी गुणचें.

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

-2y कडेन -\frac{27y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{117}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

-\frac{37}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{107}{37}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5} त y खातीर -\frac{107}{37} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{107}{37} क \frac{3}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{321}{185} क \frac{13}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{32}{37}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

5x आनी -9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -45x+27y=-117 तल्यान -45x-10y=-10 वजा करचो.

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

45x कडेन -45x ची बेरीज करची. अटी -45x आनी 45x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$27y+10y=-117+10$$

10y कडेन 27y ची बेरीज करची.

$$37y=-117+10$$

10 कडेन -117 ची बेरीज करची.

$$37y=-107$$

दोनुय कुशींक 37 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{107}{37}$$

-9x-2y=-2 त y खातीर -\frac{107}{37} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

-\frac{107}{37}क -2 फावटी गुणचें.

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{214}{37} वजा करचें.

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{32}{37}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$