सोडोवचें {l}{5x+3y=-2}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 2 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+3y=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$5x=-3y-2$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-2\right)$$

-3y-2क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}$$

2x-2y=-4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y-2}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}\right)-2y=-4$$

\frac{-3y-2}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-2y=-4$$

-2y कडेन -\frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{5}y-\frac{4}{5}=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

-\frac{16}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{-3-2}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{5} क -\frac{2}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{3}{16}\left(-4\right)\\\frac{1}{8}\left(-2\right)-\frac{5}{16}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-1,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\left(-2\right),5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\left(-4\right)$$

सोंपें करचें.

$$10x+6y=-4,10x-10y=-20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+6y=-4 तल्यान 10x-10y=-20 वजा करचो.

$$10x-10x+6y+10y=-4+20$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+10y=-4+20$$

10y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$16y=-4+20$$

20 कडेन -4 ची बेरीज करची.

$$16y=16$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$y=1$$

2x-2y=-4 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-2=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$2x=-2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=1$$