सोडोवचें {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x मेळोवंक 4x आनी -3x एकठांय करचें.

$$x+4y+3y=10$$

7y मेळोवंक 4y आनी 3y एकठांय करचें.

$$x+7y=10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x मेळोवंक 2x आनी -3x एकठांय करचें.

$$-x+2y+3y=2$$

5y मेळोवंक 2y आनी 3y एकठांय करचें.

$$-x+5y=2$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+7y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$x=-7y+10$$

-x+5y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -7y+10 बदलपी घेवचो.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

-7y+10क -1 फावटी गुणचें.

$$7y-10+5y=2$$

5y कडेन 7y ची बेरीज करची.

$$12y-10=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$12y=12$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x=-7y+10 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-7+10$$

-7 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x मेळोवंक 4x आनी -3x एकठांय करचें.

$$x+4y+3y=10$$

7y मेळोवंक 4y आनी 3y एकठांय करचें.

$$x+7y=10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x मेळोवंक 2x आनी -3x एकठांय करचें.

$$-x+2y+3y=2$$

5y मेळोवंक 2y आनी 3y एकठांय करचें.

$$-x+5y=2$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x मेळोवंक 4x आनी -3x एकठांय करचें.

$$x+4y+3y=10$$

7y मेळोवंक 4y आनी 3y एकठांय करचें.

$$x+7y=10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x मेळोवंक 2x आनी -3x एकठांय करचें.

$$-x+2y+3y=2$$

5y मेळोवंक 2y आनी 3y एकठांय करचें.

$$-x+5y=2$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -x-7y=-10 तल्यान -x+5y=2 वजा करचो.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

x कडेन -x ची बेरीज करची. अटी -x आनी x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-7y-5y=-10-2$$

-5y कडेन -7y ची बेरीज करची.

$$-12y=-10-2$$

-2 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$-12y=-12$$

दोनुय कुशींक -12 न भाग लावचो.

$$y=1$$

-x+5y=2 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x+5=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$-x=-3$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$