सोडोवचें {l}{3x-2y=-4}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-2y=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$3x=2y-4$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-4\right)$$

-4+2yक \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

2x+y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4+2y}{3} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)+y=2$$

\frac{-4+2y}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}+y=2$$

y कडेन \frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{3}y-\frac{8}{3}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{8}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{3}y=\frac{14}{3}$$

\frac{7}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

2क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4-4}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{3} क -\frac{4}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-4\right)+\frac{2}{7}\times 2\\-\frac{2}{7}\left(-4\right)+\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3y=3\times 2$$

सोंपें करचें.

$$6x-4y=-8,6x+3y=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x-4y=-8 तल्यान 6x+3y=6 वजा करचो.

$$6x-6x-4y-3y=-8-6$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-3y=-8-6$$

-3y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-7y=-8-6$$

-6 कडेन -8 ची बेरीज करची.

$$-7y=-14$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=2$$

2x+y=2 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+2=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$2x=0$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=2$$