सोडोवचें {l}{3x+y=5}{x+2/5+y/2=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } + \frac { y } { 2 } = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y+5$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

-y+5क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+5}{3} बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

2 कडेन \frac{5}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

\frac{-y+11}{3}क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{15}y+\frac{11}{15}+\frac{1}{2}y=-1$$

\frac{y}{2} कडेन -\frac{y}{15} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{30}y+\frac{11}{15}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{11}{15} वजा करचें.

$$\frac{13}{30}y=-\frac{26}{15}$$

\frac{13}{30} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

-4क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{3} क \frac{5}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

दुसरें समिकरण तें प्रमाणित स्वरूपांत घालूंक तें सोंपें करचें.

$$\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

x+2क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{5} वजा करचें.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{2}y=-\frac{7}{5}$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&-\frac{1}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&\frac{3}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{10}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{30}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{10}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\\-\frac{2}{13}\times 5+\frac{30}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=-4$$