सोडोवचें {l}{3x+4y=-3}{4x+6y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 3 } \\ { 4 x + 6 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-5$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+4y=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$3x=-4y-3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-3\right)$$

-4y-3क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y-1$$

4x+6y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{4y}{3}-1 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-1\right)+6y=-2$$

-\frac{4y}{3}-1क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{16}{3}y-4+6y=-2$$

6y कडेन -\frac{16y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{3}y-4=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{3}y=2$$

\frac{2}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=-\frac{4}{3}y-1 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\times 3-1$$

3क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-4-1$$

-4 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}&\frac{3}{3\times 6-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)-2\left(-2\right)\\-2\left(-3\right)+\frac{3}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-5,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

3x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-3\right),3\times 4x+3\times 6y=3\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$12x+16y=-12,12x+18y=-6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+16y=-12 तल्यान 12x+18y=-6 वजा करचो.

$$12x-12x+16y-18y=-12+6$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$16y-18y=-12+6$$

-18y कडेन 16y ची बेरीज करची.

$$-2y=-12+6$$

6 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$-2y=-6$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=3$$

4x+6y=-2 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+6\times 3=-2$$

3क 6 फावटी गुणचें.

$$4x+18=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$4x=-20$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=3$$