सोडोवचें {l}{3(x+y)+2(x-y)=18}{2(x+y)-(x-y)=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 2 ( x - y ) = 18 } \\ { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$y = -\frac{19}{7} = -2\frac{5}{7} \approx -2.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

x-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x मेळोवंक 3x आनी 2x एकठांय करचें.

$$5x+3y-2y=18$$

y मेळोवंक 3y आनी -2y एकठांय करचें.

$$5x+y=18$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x मेळोवंक 2x आनी -x एकठांय करचें.

$$x+2y+y=-4$$

3y मेळोवंक 2y आनी y एकठांय करचें.

$$x+3y=-4$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+y=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$5x=-y+18$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+18\right)$$

-y+18क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}$$

x+3y=-4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+18}{5} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}+3y=-4$$

3y कडेन -\frac{y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{18}{5} वजा करचें.

$$\frac{14}{5}y=-\frac{38}{5}$$

\frac{14}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{19}{7}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5} त y खातीर -\frac{19}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{19}{7}\right)+\frac{18}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{19}{7} क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{19}{35}+\frac{18}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{19}{35} क \frac{18}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{29}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

x-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x मेळोवंक 3x आनी 2x एकठांय करचें.

$$5x+3y-2y=18$$

y मेळोवंक 3y आनी -2y एकठांय करचें.

$$5x+y=18$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x मेळोवंक 2x आनी -x एकठांय करचें.

$$x+2y+y=-4$$

3y मेळोवंक 2y आनी y एकठांय करचें.

$$x+3y=-4$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-1}&-\frac{1}{5\times 3-1}\\-\frac{1}{5\times 3-1}&\frac{5}{5\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 18-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{14}\times 18+\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\-\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

x-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x मेळोवंक 3x आनी 2x एकठांय करचें.

$$5x+3y-2y=18$$

y मेळोवंक 3y आनी -2y एकठांय करचें.

$$5x+y=18$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x मेळोवंक 2x आनी -x एकठांय करचें.

$$x+2y+y=-4$$

3y मेळोवंक 2y आनी y एकठांय करचें.

$$x+3y=-4$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

5x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$5x+y=18,5x+5\times 3y=5\left(-4\right)$$

सोंपें करचें.

$$5x+y=18,5x+15y=-20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x+y=18 तल्यान 5x+15y=-20 वजा करचो.

$$5x-5x+y-15y=18+20$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-15y=18+20$$

-15y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-14y=18+20$$

20 कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$-14y=38$$

दोनुय कुशींक -14 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{19}{7}$$

x+3y=-4 त y खातीर -\frac{19}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+3\left(-\frac{19}{7}\right)=-4$$

-\frac{19}{7}क 3 फावटी गुणचें.

$$x-\frac{57}{7}=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{57}{7} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{29}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$