सोडोवचें {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$21x+7y=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$21x=-7y+42$$

दोनुय कुशींक 21 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

-7y+42क \frac{1}{21} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

-5x+5y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{3}+2 बदलपी घेवचो.

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

-\frac{y}{3}+2क -5 फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

5y कडेन \frac{5y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$\frac{20}{3}y=20$$

\frac{20}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{3}y+2 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

3क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-1+2$$

-1 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

21x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 21 न गुणचें.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

सोंपें करचें.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -105x-35y=-210 तल्यान -105x+105y=210 वजा करचो.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

105x कडेन -105x ची बेरीज करची. अटी -105x आनी 105x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-35y-105y=-210-210$$

-105y कडेन -35y ची बेरीज करची.

$$-140y=-210-210$$

-210 कडेन -210 ची बेरीज करची.

$$-140y=-420$$

दोनुय कुशींक -140 न भाग लावचो.

$$y=3$$

-5x+5y=10 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x+5\times 3=10$$

3क 5 फावटी गुणचें.

$$-5x+15=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$-5x=-5$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=3$$