सोडोवचें {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$2x=y+5$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

y+5क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

4x+6y=24 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5+y}{2} बदलपी घेवचो.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

\frac{5+y}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$2y+10+6y=24$$

6y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$8y+10=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$8y=14$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{4}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} त y खातीर \frac{7}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{7}{4} क \frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{7}{8} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{27}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

सोंपें करचें.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x-4y=20 तल्यान 8x+12y=48 वजा करचो.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-12y=20-48$$

-12y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-16y=20-48$$

-48 कडेन 20 ची बेरीज करची.

$$-16y=-28$$

दोनुय कुशींक -16 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{4}$$

4x+6y=24 त y खातीर \frac{7}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

\frac{7}{4}क 6 फावटी गुणचें.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{21}{2} वजा करचें.

$$4x=\frac{27}{2}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{27}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$