सोडोवचें {l}{2x-3-2y=3}{2x-3+2y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 - 2 y = 3 } \\ { 2 x - 3 + 2 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-2y-3=3,2x+2y-3=19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-2y-3=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$2x-2y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$2x=2y+6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+6\right)$$

6+2yक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=y+3$$

2x+2y-3=19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+3 बदलपी घेवचो.

$$2\left(y+3\right)+2y-3=19$$

y+3क 2 फावटी गुणचें.

$$2y+6+2y-3=19$$

2y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$4y+6-3=19$$

-3 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$4y+3=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$4y=16$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=4$$

x=y+3 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=4+3$$

4 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-2y-3=3,2x+2y-3=19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=7,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-2y-3=3,2x+2y-3=19$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-2y-3=3 तल्यान 2x+2y-3=19 वजा करचो.

$$2x-2x-2y-2y-3+3=3-19$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2y-2y-3+3=3-19$$

-2y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-4y-3+3=3-19$$

3 कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$-4y=3-19$$

-19 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$-4y=-16$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=4$$

2x+2y-3=19 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+2\times 4-3=19$$

4क 2 फावटी गुणचें.

$$2x+8-3=19$$

-3 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$2x+5=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$2x=14$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=4$$