सोडोवचें {l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x+2y-x+y=3$$

x मेळोवंक 2x आनी -x एकठांय करचें.

$$x+2y+y=3$$

3y मेळोवंक 2y आनी y एकठांय करचें.

$$x+3y=3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x-y न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x मेळोवंक x आनी -2x एकठांय करचें.

$$-x+y+2y=1$$

3y मेळोवंक y आनी 2y एकठांय करचें.

$$-x+3y=1$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+3y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x=-3y+3$$

-x+3y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -3y+3 बदलपी घेवचो.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

-3y+3क -1 फावटी गुणचें.

$$3y-3+3y=1$$

3y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$6y-3=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$6y=4$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-3y+3 त y खातीर \frac{2}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

\frac{2}{3}क -3 फावटी गुणचें.

$$x=-2+3$$

-2 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x+2y-x+y=3$$

x मेळोवंक 2x आनी -x एकठांय करचें.

$$x+2y+y=3$$

3y मेळोवंक 2y आनी y एकठांय करचें.

$$x+3y=3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x-y न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x मेळोवंक x आनी -2x एकठांय करचें.

$$-x+y+2y=1$$

3y मेळोवंक y आनी 2y एकठांय करचें.

$$-x+3y=1$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x+2y-x+y=3$$

x मेळोवंक 2x आनी -x एकठांय करचें.

$$x+2y+y=3$$

3y मेळोवंक 2y आनी y एकठांय करचें.

$$x+3y=3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x-y न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x मेळोवंक x आनी -2x एकठांय करचें.

$$-x+y+2y=1$$

3y मेळोवंक y आनी 2y एकठांय करचें.

$$-x+3y=1$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून x+3y=3 तल्यान -x+3y=1 वजा करचो.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

-3y कडेन 3y ची बेरीज करची. अटी 3y आनी -3y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$x+x=3-1$$

x कडेन x ची बेरीज करची.

$$2x=3-1$$

-1 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$2x=2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=1$$

-x+3y=1 त x खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-1+3y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$3y=2$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$