सोडोवचें {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=28$$

$$y=30$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$0.5x+0.7y=35$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7y}{10} वजा करचें.

$$0.5x=-0.7y+35$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

-\frac{7y}{10}+35क 2 फावटी गुणचें.

$$x=-1.4y+70$$

x+0.4y=40 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{7y}{5}+70 बदलपी घेवचो.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

\frac{2y}{5} कडेन -\frac{7y}{5} ची बेरीज करची.

$$-y+70=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 70 वजा करचें.

$$-y=-30$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=30$$

x=-1.4y+70 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-1.4\times 30+70$$

30क -1.4 फावटी गुणचें.

$$x=-42+70$$

-42 कडेन 70 ची बेरीज करची.

$$x=28$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=28,y=30$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=28,y=30$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

\frac{x}{2} आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.5 न गुणचें.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

सोंपें करचें.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 0.5x+0.7y=35 तल्यान 0.5x+0.2y=20 वजा करचो.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

-\frac{x}{2} कडेन \frac{x}{2} ची बेरीज करची. अटी \frac{x}{2} आनी -\frac{x}{2} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

-\frac{y}{5} कडेन \frac{7y}{10} ची बेरीज करची.

$$0.5y=35-20$$

-20 कडेन 35 ची बेरीज करची.

$$0.5y=15$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$y=30$$

x+0.4y=40 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+0.4\times 30=40$$

30क 0.4 फावटी गुणचें.

$$x+12=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$x=28$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=28,y=30$$