सोडोवचें {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-7x-4y=62$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$-7x=4y+62$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

4y+62क -\frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

3x+y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y-62}{7} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

\frac{-4y-62}{7}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

y कडेन -\frac{12y}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{186}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

-\frac{5}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{172}{5}$$

x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7} त y खातीर -\frac{172}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{172}{5} क -\frac{4}{7} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{688}{35} क -\frac{62}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{54}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

-7x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -7 न गुणचें.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -21x-12y=186 तल्यान -21x-7y=14 वजा करचो.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

21x कडेन -21x ची बेरीज करची. अटी -21x आनी 21x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y+7y=186-14$$

7y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-5y=186-14$$

-14 कडेन 186 ची बेरीज करची.

$$-5y=172$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{172}{5}$$

3x+y=-2 त y खातीर -\frac{172}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{172}{5} ची बेरीज करची.

$$3x=\frac{162}{5}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{54}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$