सोडोवचें {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4,2,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

गुणाकार करचे.

$$4x+3y=12-12$$

0 मेळोवंक 12 आनी 12 वजा करचे.

$$4x+3y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 20 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,2,4,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

2x+y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

y-2 न -10 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y मेळोवंक 4y आनी -10y एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

x+y-3 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

y-x-1 न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y मेळोवंक 5y आनी -2y एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x मेळोवंक 5x आनी 2x एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 मेळोवंक -15 आनी 2 ची बेरीज करची.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 7x वजा करचें.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x मेळोवंक 8x आनी -7x एकठांय करचें.

$$x-6y+20=3y-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y मेळोवंक -6y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-9y+20=-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$x-9y=-13-20$$

-33 मेळोवंक -13 आनी 20 वजा करचे.

$$x-9y=-33$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+3y=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$4x=-3y$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

-3yक \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

x-9y=-33 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{4} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

-9y कडेन -\frac{3y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

-\frac{39}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{44}{13}$$

x=-\frac{3}{4}y त y खातीर \frac{44}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{44}{13} क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{33}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4,2,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

गुणाकार करचे.

$$4x+3y=12-12$$

0 मेळोवंक 12 आनी 12 वजा करचे.

$$4x+3y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 20 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,2,4,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

2x+y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

y-2 न -10 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y मेळोवंक 4y आनी -10y एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

x+y-3 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

y-x-1 न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y मेळोवंक 5y आनी -2y एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x मेळोवंक 5x आनी 2x एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 मेळोवंक -15 आनी 2 ची बेरीज करची.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 7x वजा करचें.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x मेळोवंक 8x आनी -7x एकठांय करचें.

$$x-6y+20=3y-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y मेळोवंक -6y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-9y+20=-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$x-9y=-13-20$$

-33 मेळोवंक -13 आनी 20 वजा करचे.

$$x-9y=-33$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4,2,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

गुणाकार करचे.

$$4x+3y=12-12$$

0 मेळोवंक 12 आनी 12 वजा करचे.

$$4x+3y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 20 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,2,4,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

2x+y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

y-2 न -10 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y मेळोवंक 4y आनी -10y एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

x+y-3 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

y-x-1 न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y मेळोवंक 5y आनी -2y एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x मेळोवंक 5x आनी 2x एकठांय करचें.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 मेळोवंक -15 आनी 2 ची बेरीज करची.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 7x वजा करचें.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x मेळोवंक 8x आनी -7x एकठांय करचें.

$$x-6y+20=3y-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y मेळोवंक -6y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-9y+20=-13$$

दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$x-9y=-13-20$$

-33 मेळोवंक -13 आनी 20 वजा करचे.

$$x-9y=-33$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

4x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

सोंपें करचें.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x+3y=0 तल्यान 4x-36y=-132 वजा करचो.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

-4x कडेन 4x ची बेरीज करची. अटी 4x आनी -4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y+36y=132$$

36y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$39y=132$$

दोनुय कुशींक 39 न भाग लावचो.

$$y=\frac{44}{13}$$

x-9y=-33 त y खातीर \frac{44}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

\frac{44}{13}क -9 फावटी गुणचें.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{396}{13} ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{33}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$