सोडोवचें {l}{x/1+2+y/2=8}{x/2+3+y/6=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 1 + 2 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 2 + 3 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=15$$

$$y=6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{y}{2} वजा करचें.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8$$

दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)$$

-\frac{y}{2}+8क 3 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+24$$

\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+24 बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4$$

-\frac{3y}{2}+24क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4$$

\frac{y}{6} कडेन -\frac{3y}{10} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{5} वजा करचें.

$$-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}$$

-\frac{2}{15} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+24 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+24$$

6क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-9+24$$

-9 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=15,y=6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

\frac{x}{3} आनी \frac{x}{5} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{5} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{3} न गुणचें.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4$$

सोंपें करचें.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5} तल्यान \frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3} वजा करचो.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

-\frac{x}{15} कडेन \frac{x}{15} ची बेरीज करची. अटी \frac{x}{15} आनी -\frac{x}{15} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

-\frac{y}{18} कडेन \frac{y}{10} ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{4}{3} क \frac{8}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}$$

\frac{2}{45} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=6$$

\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4$$

6क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{5}x+1=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$\frac{1}{5}x=3$$

दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=6$$