सोडोवचें {l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

बदली आनी क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+1 न k गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$y=kx+k$$

3x^{2}+4y^{2}=12 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर kx+k बदलपी घेवचो.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k वर्गमूळ.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

4k^{2}x^{2} कडेन 3x^{2} ची बेरीज करची.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 3+4k^{2}, b खातीर 4\times 2kk आनी c खातीर 4k^{2}-12 बदली घेवचे.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk वर्गमूळ.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

3+4k^{2}क -4 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4k^{2}-12क -12-16k^{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144+144k^{2}-64k^{4} कडेन 64k^{4} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

3+4k^{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} सोडोवचें. 12\sqrt{k^{2}+1} कडेन -8k^{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2} न-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} क भाग लावचो.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} सोडोवचें. -8k^{2} तल्यान 12\sqrt{k^{2}+1} वजा करची.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2} न-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} क भाग लावचो.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x चीं दोन सोडोवणी आसात: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} आनी -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. समिकरणांत y=kx+k त x खातीर \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} बदली घेवचो आनी दोनूय समिकरणांक सोदपी y क अनुरूप सोडोवण सोदची.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}क k फावटी गुणचें.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

आतां y=kx+k समिकरणांत x खातीर -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} बदली घेवचो आनी दोनूय समिकरणांक सोदपी y क अनुरूप सोडोवण सोदची.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}क k फावटी गुणचें.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$