सोडोवचें {l}{2x-y/5=3}{x+y/3=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 5 } = 3 } \\ { \frac { x + y } { 3 } = 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=8$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$2x-y=3\times 5$$

15 मेळोवंक 3 आनी 5 गुणचें.

$$2x-y=15$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x+y=3\times 3$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$x+y=9$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-y=15,x+y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$2x=y+15$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+15\right)$$

y+15क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

x+y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{15+y}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+y=9$$

y कडेन \frac{y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{2} वजा करचें.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1+15}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1}{2} क \frac{15}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=8,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$2x-y=3\times 5$$

15 मेळोवंक 3 आनी 5 गुणचें.

$$2x-y=15$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x+y=3\times 3$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$x+y=9$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-y=15,x+y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{1}{3}\times 15+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=8,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$2x-y=3\times 5$$

15 मेळोवंक 3 आनी 5 गुणचें.

$$2x-y=15$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x+y=3\times 3$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$x+y=9$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-y=15,x+y=9$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x-y=15,2x+2y=2\times 9$$

सोंपें करचें.

$$2x-y=15,2x+2y=18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-y=15 तल्यान 2x+2y=18 वजा करचो.

$$2x-2x-y-2y=15-18$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-y-2y=15-18$$

-2y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$-3y=15-18$$

-18 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$-3y=-3$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x+y=9 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+1=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$x=8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=8,y=1$$