सोडोवचें {l}{1/5x-2y=10}{3x-3/2y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } x - 2 y = 10 } \\ { 3 x - \frac { 3 } { 2 } y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$\frac{1}{5}x-2y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{5}x=2y+10$$

दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$x=5\left(2y+10\right)$$

10+2yक 5 फावटी गुणचें.

$$x=10y+50$$

3x-\frac{3}{2}y=36 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 50+10y बदलपी घेवचो.

$$3\left(10y+50\right)-\frac{3}{2}y=36$$

50+10yक 3 फावटी गुणचें.

$$30y+150-\frac{3}{2}y=36$$

-\frac{3y}{2} कडेन 30y ची बेरीज करची.

$$\frac{57}{2}y+150=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 150 वजा करचें.

$$\frac{57}{2}y=-114$$

\frac{57}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

x=10y+50 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=10\left(-4\right)+50$$

-4क 10 फावटी गुणचें.

$$x=-40+50$$

-40 कडेन 50 ची बेरीज करची.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}&\frac{20}{57}\\-\frac{10}{19}&\frac{2}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}\times 10+\frac{20}{57}\times 36\\-\frac{10}{19}\times 10+\frac{2}{57}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

\frac{x}{5} आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{5} न गुणचें.

$$3\times \frac{1}{5}x+3\left(-2\right)y=3\times 10,\frac{1}{5}\times 3x+\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)y=\frac{1}{5}\times 36$$

सोंपें करचें.

$$\frac{3}{5}x-6y=30,\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{3}{5}x-6y=30 तल्यान \frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5} वजा करचो.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

-\frac{3x}{5} कडेन \frac{3x}{5} ची बेरीज करची. अटी \frac{3x}{5} आनी -\frac{3x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

\frac{3y}{10} कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-\frac{57}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

-\frac{36}{5} कडेन 30 ची बेरीज करची.

$$-\frac{57}{10}y=\frac{114}{5}$$

-\frac{57}{10} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

3x-\frac{3}{2}y=36 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-\frac{3}{2}\left(-4\right)=36$$

-4क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$3x+6=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$3x=30$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-4$$