सोडोवचें {c}{x+4y=12}{2x-y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 4 y = 12 } \\ { 2 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+4y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$x=-4y+12$$

2x-y=6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -4y+12 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-4y+12\right)-y=6$$

-4y+12क 2 फावटी गुणचें.

$$-8y+24-y=6$$

-y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-9y+24=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 24 वजा करचें.

$$-9y=-18$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=2$$

x=-4y+12 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-4\times 2+12$$

2क -4 फावटी गुणचें.

$$x=-8+12$$

-8 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\times 2}&-\frac{4}{-1-4\times 2}\\-\frac{2}{-1-4\times 2}&\frac{1}{-1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{4}{9}\times 6\\\frac{2}{9}\times 12-\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\times 4y=2\times 12,2x-y=6$$

सोंपें करचें.

$$2x+8y=24,2x-y=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+8y=24 तल्यान 2x-y=6 वजा करचो.

$$2x-2x+8y+y=24-6$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y+y=24-6$$

y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$9y=24-6$$

-6 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$9y=18$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=2$$

2x-y=6 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-2=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$2x=8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=2$$