다음을 풀어보세요: x^2-5x-10=0

$$x ^ { 2 } - 5 x - 10 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{2} \approx 6.531128874$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}\approx -1.531128874$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-5x-10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -5을(를) b로, -10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-10\right)}}{2}$$

-4에 -10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+40}}{2}$$

25을(를) 40에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{65}}{2}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}을(를) 풉니다. 5을(를) \sqrt{65}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}을(를) 풉니다. 5에서 \sqrt{65}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}-5x-10=0$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$x^{2}-5x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

자신에서 -10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}-5x=-\left(-10\right)$$

0에서 -10을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-5x=10$$

x 항의 계수인 -5을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=10+\frac{25}{4}$$

10을(를) \frac{25}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{65}{4}$$

인수 x^{2}-5x+\frac{25}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{65}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$