다음을 풀어보세요: x^2-(x-12)^2=(x-24)^2

$$x ^ { 2 } - ( x - 12 ) ^ { 2 } = ( x - 24 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x=12$$

$$x=60$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-12\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-\left(x^{2}-24x+144\right)=\left(x-24\right)^{2}$$

x^{2}-24x+144의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}-x^{2}+24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-24\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$24x-144=x^{2}-48x+576$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$24x-144-x^{2}=-48x+576$$

양쪽에 48x을(를) 더합니다.

$$24x-144-x^{2}+48x=576$$

24x과(와) 48x을(를) 결합하여 72x(을)를 구합니다.

$$72x-144-x^{2}=576$$

양쪽 모두에서 576을(를) 뺍니다.

$$72x-144-x^{2}-576=0$$

-144에서 576을(를) 빼고 -720을(를) 구합니다.

$$72x-720-x^{2}=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$-x^{2}+72x-720=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -x^{2}+ax+bx-720(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=72 ab=-\left(-720\right)=720$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 720을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,720 2,360 3,240 4,180 5,144 6,120 8,90 9,80 10,72 12,60 15,48 16,45 18,40 20,36 24,30$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+720=721 2+360=362 3+240=243 4+180=184 5+144=149 6+120=126 8+90=98 9+80=89 10+72=82 12+60=72 15+48=63 16+45=61 18+40=58 20+36=56 24+30=54$$

이 해답은 합계 72이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=60 b=12$$

-x^{2}+72x-720을(를) \left(-x^{2}+60x\right)+\left(12x-720\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(12x-720\right)$$

첫 번째 그룹 및 12에서 -x를 제한 합니다.

$$-x\left(x-60\right)+12\left(x-60\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-60을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-60\right)\left(-x+12\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-60=0을 해결 하 고, -x+12=0.

$$x=60 x=12$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-12\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-\left(x^{2}-24x+144\right)=\left(x-24\right)^{2}$$

x^{2}-24x+144의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}-x^{2}+24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-24\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$24x-144=x^{2}-48x+576$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$24x-144-x^{2}=-48x+576$$

양쪽에 48x을(를) 더합니다.

$$24x-144-x^{2}+48x=576$$

24x과(와) 48x을(를) 결합하여 72x(을)를 구합니다.

$$72x-144-x^{2}=576$$

양쪽 모두에서 576을(를) 뺍니다.

$$72x-144-x^{2}-576=0$$

-144에서 576을(를) 빼고 -720을(를) 구합니다.

$$72x-720-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+72x-720=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 72을(를) b로, -720을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\left(-1\right)\left(-720\right)}}{2\left(-1\right)}$$

72을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\left(-1\right)\left(-720\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184+4\left(-720\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -720을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-2880}}{2\left(-1\right)}$$

5184을(를) -2880에 추가합니다.

$$x=\frac{-72±\sqrt{2304}}{2\left(-1\right)}$$

2304의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-72±48}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-72±48}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-72±48}{-2}을(를) 풉니다. -72을(를) 48에 추가합니다.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-24을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=12$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-72±48}{-2}을(를) 풉니다. -72에서 48을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-120을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=60$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=12 x=60$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-12\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-\left(x^{2}-24x+144\right)=\left(x-24\right)^{2}$$

x^{2}-24x+144의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}-x^{2}+24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-24\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$24x-144=x^{2}-48x+576$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$24x-144-x^{2}=-48x+576$$

양쪽에 48x을(를) 더합니다.

$$24x-144-x^{2}+48x=576$$

24x과(와) 48x을(를) 결합하여 72x(을)를 구합니다.

$$72x-144-x^{2}=576$$

양쪽에 144을(를) 더합니다.

$$72x-x^{2}=576+144$$

576과(와) 144을(를) 더하여 720을(를) 구합니다.

$$72x-x^{2}=720$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+72x=720$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+72x}{-1}=\frac{720}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{72}{-1}x=\frac{720}{-1}$$

72을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-72x=\frac{720}{-1}$$

720을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-72x=-720$$

x 항의 계수인 -72을(를) 2(으)로 나눠서 -36을(를) 구합니다. 그런 다음 -36의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-72x+\left(-36\right)^{2}=-720+\left(-36\right)^{2}$$

-36을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-72x+1296=-720+1296$$

-720을(를) 1296에 추가합니다.

$$x^{2}-72x+1296=576$$

인수 x^{2}-72x+1296. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-36\right)^{2}=576$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-36\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

단순화합니다.

$$x-36=24 x-36=-24$$

수식의 양쪽에 36을(를) 더합니다.

$$x=60 x=12$$