다음을 풀어보세요: x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-40$$

$$x=9$$

인수 분해 사용 단계

방정식을 계산 하려면 수식 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)을 사용 하 x^{2}+31x-360. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=31 ab=-360$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -360을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

이 해답은 합계 31이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-9 b=40$$

가져온 값을 사용하여 인수 분해식 \left(x+a\right)\left(x+b\right)을(를) 다시 작성하세요.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-9=0을 해결 하 고, x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-360(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -360을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

이 해답은 합계 31이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-9 b=40$$

x^{2}+31x-360을(를) \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

첫 번째 그룹 및 40에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-9을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-9=0을 해결 하 고, x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}+31x-360=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, 31을(를) b로, -360을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

31을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

-4에 -360을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

961을(를) 1440에 추가합니다.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

2401의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-31±49}{2}을(를) 풉니다. -31을(를) 49에 추가합니다.

$$x=\frac{18}{2}$$

18을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-31±49}{2}을(를) 풉니다. -31에서 49을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{80}{2}$$

-80을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=-40$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=9 x=-40$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}+31x-360=0$$

수식의 양쪽에 360을(를) 더합니다.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

자신에서 -360을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

0에서 -360을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+31x=360$$

x 항의 계수인 31을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{31}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{31}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{31}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

360을(를) \frac{961}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

인수 x^{2}+31x+\frac{961}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{31}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=9 x=-40$$