다음을 풀어보세요: a^2-a-1=0

$$a ^ { 2 } - a - 1 = 0$$

a에 대한 해

$$a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$a^{2}-a-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -1을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

1을(를) 4에 추가합니다.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$a=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 a=\frac{1±\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 1을(를) \sqrt{5}에 추가합니다.

$$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 a=\frac{1±\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 1에서 \sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2} a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$a^{2}-a-1=0$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$a^{2}-a-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

자신에서 -1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$a^{2}-a=-\left(-1\right)$$

0에서 -1을(를) 뺍니다.

$$a^{2}-a=1$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$a^{2}-a+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$a^{2}-a+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

1을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$a^{2}-a+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

인수 a^{2}-a+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

단순화합니다.

$$a-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} a-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2} a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$