다음을 풀어보세요: 9x^2-160x-36=0

$$9 x ^ { 2 } - 160 x - 36 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

$$x=18$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 9x^{2}+ax+bx-36(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-160 ab=9\left(-36\right)=-324$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -324을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-324 2,-162 3,-108 4,-81 6,-54 9,-36 12,-27 18,-18$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-324=-323 2-162=-160 3-108=-105 4-81=-77 6-54=-48 9-36=-27 12-27=-15 18-18=0$$

이 해답은 합계 -160이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-162 b=2$$

9x^{2}-160x-36을(를) \left(9x^{2}-162x\right)+\left(2x-36\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(9x^{2}-162x\right)+\left(2x-36\right)$$

첫 번째 그룹 및 2에서 9x를 제한 합니다.

$$9x\left(x-18\right)+2\left(x-18\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-18을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-18\right)\left(9x+2\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-18=0을 해결 하 고, 9x+2=0.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}-160x-36=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, -160을(를) b로, -36을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 9\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

-160을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 9\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-36\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

-36에 -36을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600+1296}}{2\times 9}$$

25600을(를) 1296에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{26896}}{2\times 9}$$

26896의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±164}{2\times 9}$$

-160의 반대는 160입니다.

$$x=\frac{160±164}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{160±164}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{160±164}{18}을(를) 풉니다. 160을(를) 164에 추가합니다.

$$x=\frac{324}{18}$$

324을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=18$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{160±164}{18}을(를) 풉니다. 160에서 164을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{4}{18}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{2}{9}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}-160x-36=0$$

수식의 양쪽에 36을(를) 더합니다.

$$9x^{2}-160x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

자신에서 -36을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}-160x=-\left(-36\right)$$

0에서 -36을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}-160x=36$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}-160x}{9}=\frac{36}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x=\frac{36}{9}$$

36을(를) 9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x=4$$

x 항의 계수인 -\frac{160}{9}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{80}{9}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{80}{9}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\left(-\frac{80}{9}\right)^{2}=4+\left(-\frac{80}{9}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{80}{9}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}=4+\frac{6400}{81}$$

4을(를) \frac{6400}{81}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}=\frac{6724}{81}$$

인수 x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{80}{9}\right)^{2}=\frac{6724}{81}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{80}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6724}{81}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{80}{9}=\frac{82}{9} x-\frac{80}{9}=-\frac{82}{9}$$

수식의 양쪽에 \frac{80}{9}을(를) 더합니다.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$