다음을 풀어보세요: 9+x^2=(2x+1)^2

$$9 + x ^ { 2 } = ( 2 x + 1 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1.097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2.430500874$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9+x^{2}=4x^{2}+4x+1$$

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$9+x^{2}-4x^{2}=4x+1$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$9-3x^{2}=4x+1$$

양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$9-3x^{2}-4x=1$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$9-3x^{2}-4x-1=0$$

9에서 1을(를) 빼고 8을(를) 구합니다.

$$8-3x^{2}-4x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}-4x+8=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, -4을(를) b로, 8을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+12\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

12에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+96}}{2\left(-3\right)}$$

16을(를) 96에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{112}}{2\left(-3\right)}$$

112의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6}을(를) 풉니다. 4을(를) 4\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+4}{-6}$$

4+4\sqrt{7}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6}을(를) 풉니다. 4에서 4\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4-4\sqrt{7}}{-6}$$

4-4\sqrt{7}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9+x^{2}=4x^{2}+4x+1$$

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$9+x^{2}-4x^{2}=4x+1$$

x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 -3x^{2}(을)를 구합니다.

$$9-3x^{2}=4x+1$$

양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$9-3x^{2}-4x=1$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}-4x=1-9$$

1에서 9을(를) 빼고 -8을(를) 구합니다.

$$-3x^{2}-4x=-8$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}-4x}{-3}=-\frac{8}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-3}\right)x=-\frac{8}{-3}$$

-4을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{8}{-3}$$

-8을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{4}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{2}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{2}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{2}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) \frac{4}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$