다음을 풀어보세요: 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 21을(를) 뺍니다.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 8x^{2}+ax+bx-21(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -168을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

이 해답은 합계 2이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-12 b=14$$

8x^{2}+2x-21을(를) \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 4x를 제한 합니다.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-3=0을 해결 하 고, 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8x^{2}+2x=21$$

수식의 양쪽에서 21을(를) 뺍니다.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

자신에서 21을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, 2을(를) b로, -21을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

-32에 -21을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

4을(를) 672에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

676의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±26}{16}을(를) 풉니다. -2을(를) 26에 추가합니다.

$$x=\frac{24}{16}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{24}{16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±26}{16}을(를) 풉니다. -2에서 26을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{28}{16}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-28}{16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{7}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8x^{2}+2x=21$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{2}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

x 항의 계수인 \frac{1}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{21}{8}을(를) \frac{1}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$