다음을 풀어보세요: 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

t에 대한 해

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4.15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0.412160422$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 7을(를) a로, -32을(를) b로, 12을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

-32을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

-4에 7을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

-28에 12을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

1024을(를) -336에 추가합니다.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

688의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

-32의 반대는 32입니다.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

2에 7을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}을(를) 풉니다. 32을(를) 4\sqrt{43}에 추가합니다.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

32+4\sqrt{43}을(를) 14(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}을(를) 풉니다. 32에서 4\sqrt{43}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

32-4\sqrt{43}을(를) 14(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

자신에서 12을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$7t^{2}-32t=-12$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

7(으)로 나누면 7(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

x 항의 계수인 -\frac{32}{7}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{16}{7}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{16}{7}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{16}{7}을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{12}{7}을(를) \frac{256}{49}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

인수 t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

단순화합니다.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

수식의 양쪽에 \frac{16}{7}을(를) 더합니다.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$