다음을 풀어보세요: 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=4$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 2x^{2}+ax+bx-20(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -40을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

이 해답은 합계 -3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-8 b=5$$

2x^{2}-3x-20을(를) \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-4을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-4=0을 해결 하 고, 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, -9을(를) b로, -60을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-9을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-24에 -60을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

81을(를) 1440에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

1521의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

-9의 반대는 9입니다.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{9±39}{12}을(를) 풉니다. 9을(를) 39에 추가합니다.

$$x=\frac{48}{12}$$

48을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{9±39}{12}을(를) 풉니다. 9에서 39을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{30}{12}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

수식의 양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

자신에서 -60을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

0에서 -60을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}-9x=60$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-9}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

60을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

x 항의 계수인 -\frac{3}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

10을(를) \frac{9}{16}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

인수 x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{4}을(를) 더합니다.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$