다음을 풀어보세요: 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 6x^{2}+ax+bx-7(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -42을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

이 해답은 합계 19이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-2 b=21$$

6x^{2}+19x-7을(를) \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x-1=0을 해결 하 고, 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, 19을(를) b로, -7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

19을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-24에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

361을(를) 168에 추가합니다.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

529의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-19±23}{12}을(를) 풉니다. -19을(를) 23에 추가합니다.

$$x=\frac{4}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{4}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-19±23}{12}을(를) 풉니다. -19에서 23을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{42}{12}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-42}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{7}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

자신에서 -7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

0에서 -7을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+19x=7$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

x 항의 계수인 \frac{19}{6}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{19}{12}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{19}{12}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{19}{12}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{6}을(를) \frac{361}{144}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

인수 x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

수식의 양쪽에서 \frac{19}{12}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$