다음을 풀어보세요: 6x^2+11x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x-10=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 6x^{2}+ax+bx-10(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=11 ab=6\left(-10\right)=-60$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -60을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

이 해답은 합계 11이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-4 b=15$$

6x^{2}+11x-10을(를) \left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(3x-2\right)+5\left(3x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x-2을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x-2=0을 해결 하 고, 2x+5=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, 11을(를) b로, -10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

11을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

-24에 -10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 6}$$

121을(를) 240에 추가합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

361의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±19}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-11±19}{12}을(를) 풉니다. -11을(를) 19에 추가합니다.

$$x=\frac{8}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{8}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{2}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-11±19}{12}을(를) 풉니다. -11에서 19을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{30}{12}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$6x^{2}+11x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

자신에서 -10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$6x^{2}+11x=-\left(-10\right)$$

0에서 -10을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+11x=10$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=\frac{10}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{10}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{5}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{11}{6}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{11}{12}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{11}{12}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{11}{12}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{5}{3}+\frac{121}{144}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{121}{144}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{361}{144}$$

인수 x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{19}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{19}{12}$$

수식의 양쪽에서 \frac{11}{12}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$